Beispiel: Lösung eines Integrals über eine Schlüssellochkurve

Moin moin zusammen!

Die letzten Tage hatte ich viel mit der Funktionentheorie (Teilgebiet der Mathematik) zu tun und war erstaunt, dass zu dem Begriff der Schlüssellochkontur bzw. Schlüssellochkurve sehr sehr wenige Informationen im Internet verfügbar sind. Zumindest gilt dies für Seiten, die im direkten Bezug zur Mathematik stehen.

Abb.1: Google-Suche nach den Begriffen Schlüssellochkontur und Schlüssellochkurve am 13.08.2013 - Link zur Suche

Daher dachte ich mir, stelle ich mal einen konkreten Lösungweg vor, wie man ein Integral (in diesem Fall mit ungeradem Integranden und den Grenzen 0 und ∞) auf diese interessante Weise lösen kann.


Nämlich über eine Konturkurve in der komplexen Zahlenebene, deren Aussehen eben gerade einem Schlüsseloch ähnelt. :-) Viel Spaß!

Für Fragen oder Anmerkungen zur nutzt bitte die Kommentarfunktion am Ende des Beitrags.

 

Alternativ: Download der Rechnung als PDF-File

 WolframAlpha liefert dies leider nicht mit einfachen Mitteln, daher bleibt nur übrig die numerisch ermittelten Ergebnisse abzugleichen: Dazu hier klicken und a durch beliebige Zahlen zwischen 0 und 1 ersetzen.

Cholesky-Zerlegung: A=LDL^T mit MATLAB berechnen

Anbei ein kleiner Link zu einem Matlab-m-File, das die Cholesky-Zerlegung für eine positiv definite, symmetrische (s.p.d.) Matrix durchführt: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/47-ldlt?download=true

Nach Einfügen des m-Files "ldlt.m" in den Arbeitsbereich (standardmäßig links des Matlab-Command-Windows), kann mittels folgenden Aufrufs eine LDL^T-Zerlegung nach dem hier angegebenen Algorithmus (Folie 57) durchgeführt werden:

BEISPIEL:

>> A=[4 6 2;6 10 8;2 8 30]

A =

     4     6     2
     6    10     8
     2     8    30

>> [L,D]=ldlt(A)

L =

    1.0000         0            0
    1.5000    1.0000         0
    0.5000    5.0000    1.0000


D =

     4     0     0
     0     1     0
     0     0     4

Sehr praktisch um von Hand berechnete Ergebnisse zu überprüfen!


Alternativ gibt es auch hier ein matlab-Skript, das eine LL^T-ZERLGUNG durchführt (KEINE LDL^T-ZERLEGUNG!)
http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.070/ss13/AngewandteNumerik1/cholesky.m
Ebenfalls sind dort viele weitere interessante Algorithmen aus NuMa als fertig implemenitierte Matlab-Files verfügbar: Siehe Screenshot.

Viel Erfolg beim Üben!

Schnittfläche zweier Kreise, prozentualer Anteil und "Die grasende Ziege"

Neulich habe ich einmal eine kleine nette Aufgabe gefunden.
Sie ist im Internet unter dem Begriff "Die grasende Ziege" zu finden.

Wer selbst nicht weiterkommt beim Lösen, für den stelle ich hier mal meinen
kommentierten Rechenweg vor. Bei Fragen gilt wie immer: Kommentarfunktion nutzen! (Auch wenn das bisher noch nie jemand getan hat. Seid ein Vorbild! ;-) )

Außerdem hatte mich interessiert, wie sich sich die Schnittfläche zweier identischer, voreinanderher laufender (Geschwindigkeit v) Kreise prozentual zur Gesamtfläche eines Kreises verhält. (vgl. Sonnenfinsternis). Dazu sind ein paar Überlegungen von mir ausgeführt worden.


Hier ist einmal qualitativ der anteilige Flächeninhalt in Abhängigkeit von a (bzw. der Zeit t (Anm.: wegen a=v*t, v=konst. gilt: a ~ t)) aufgetragen. r ist für den Plot zu 1 gewählt:

Abb. 1: Anteilig bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf für Radius r1=r2=1) - WolframAlpha-Link

Währenddessen ist nachfolgend der qualitative Verlauf der Änderungsrate der prozentual bedeckten Kreisfläche aufgetragen:

Abb. 2: Änderungsrate der bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf; unabhängig von r) - WolframAlpha-Link

Man erkennt leicht, dass die sich überdeckende Fläche bis kurz zur Gesamtüberdeckung wächst und die Wachstumsrate bis kurz zuvor monoton wächst, also ihr Absolutmbetrag a=2*r=2 maximal wird.
Dieses Ergebnis ist plausibel und war zu erwarten. :)


Hinweis: Die Aufgabe wird erst im Anschluss an ein paar andere Überlegungen meinerseits vorgestellt. Also scrollt direkt runter, falls ihr nur am "Ziegenproblem" interessiert seid.

 

Download des Derive-logs:

pdf-Format (Adobe Reader),

dfw-Format (Derive wird benötigt),

png-Datei (Bild)

[ Nachtrag: ]

Definition "Überschnittbreite": Mit der "Überschnittbreite" a bezeichne ich in den obigen Ausführungen die längstmögliche Horizontalstrecke im Überdeckungsbereich der beiden Kreis, wenn sich diese in x-Richtung übeinander bewegen. Siehe nachfolgende Skizze:

Abb 3. Erläuterung des Begriffs "Überschnittbreite" - WolframAlpha-Link

Feldüberhöhung an Spitzen, Ecken und Kanten

Hallo,

das Phänomen der Überhöhung der elektrischen Feldstärke an spitzen Stellen eines Körpers
ist sicherlich bekannt.

Im Folgenden habe ich einmal, um diesen Effekt quantitativ nachvollziehen zu können, beispielhaft das E-Feld einer quadratischen Flächenladung mit der Seitenlänge 2d berechnet.

Es zeigt sich, dass tatsächlich für den Aufpunkt A=(a,b) mit (a,b)-->(+-d,+-d) gilt, dass |E(a,b)| --> ∞.
Sehr interessant, wie ich finde.

Der Einfachheit und Überrsichtlichkeit halber habe ich das Lösen der Integrale Derive überlassen.


Hier gibts den Rechenweg (kommentiert):

• PDF-Datei (.pdf): Download im .pdf-Format

Wer Spaß am Nachrechnen oder selbst ausprobieren hat:

• Derive-Datei (.dfw): Download im .dfw-Format 

HINWEIS: Das Ergebnis ist ohne Gewähr. Ich habe diesmal leider keine Möglichkeit gehabt, das Ergebnis unabhängig auf Richtigkeit zu überprüfen! Also bei Fehlern weist mich bitte unbedingt daraufhin!

Kapazität eines Winkelkondensators (mit Rechenweg / Herleitung)

Moin moin,

es war die Frage aufgekommen, wie groß die Ladung Q eines auf die Spannung U aufgeladenen Winkelkondensators - und damit seine Kapazität C - ist.

Wie sieht ein Winkelkondensator aus?
Ein Winkelkondensator ist ein ganz gewöhnlicher Plattenkondensator, bis auf den Unterschied, dass die Platten in einem bestimmten Winkel α zueinander angeordnet sind, wodurch die Homogenität des E-Feldes verloren geht.
Die folgenden Berechnungen zeigen, dass die Äquipotentiallinien des E-Feldes Kreisabschnitten entsprechen (zwischen den Platten) und dass sich das Potential linear zum Winkel θ verhält.


Welche Auswirkungen das auf die Kapazität C hat, könnt ihr im Folgenden nachvollziehen:
(Alternativ: Download als PDF):

 

Das Ganze bringt mich jetzt zwar persönlich nicht wirklich weiter, aber dennoch ganz interessant, dass man mit einigen mathematischen Hilfsmitteln solche Probleme angehen kann (wie ich finde) und vielleicht auch eine nette Übung für zwischendurch.

(apropos Übung: ich hatte bisher keine Möglichkeit das Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen. Daher ist nicht ganz auszuschließen, dass sich evtl. doch ein kleiner (Denk-)Fehler eingeschlichen hat - wäre daher cool, wenn sich jemand möglichst unabhängig von meinem Lösungsansatz mit der Aufgabe auseinandersetzen würde. :-) ).

Bei Fragen oder Kritik nutzt die Kommentarfunktion.


Viele Grüße
cospyanther

UPDATE: Abischnitt 2014 Niedersachsen

Die doppelte Gewichtung des P3 Faches ab dem Jahr 2014 erforderte ein kleines Update meines Abirechners von 2011.
 

Download (v1.0.0): Abischnitt 2014.exe (455KB)

MD5: a98335340e47d5e2bcee7a3a1b99dd16

Kurzbeschreibung:

Wie der Name schon sagt, kann damit auf einfache Art und Weise der zu erwartende Abiturdurchschnitt bestimmt werden.

Anmerkungen:

(i) Nach wie vor sollte bedacht werden, dass das Tool lediglich die reine Berechnung der Gesamtpunktzahl/Abidurchschnittsnote, sowie die Speicherung der Einzelnoten übernimmt, d.h. ob alle Kriterien für einen erfolgreichen Abschluss erfüllt sind, bleibt zunächst unberücksichtigt.

(ii) Und noch ein wichtiger Hinweis:

"Treten bei der Berechnung der Ergebnisse nach der Berechnungsformeln in Block 1 Bruchteile auf, so wird nach dem üblichen mathematischen Verfahren gerundet." (AVO-GOBAK, Anlage 2)

=> Die Formulierung vom Land ist an dieser Stelle einfach nicht 100%ig wasserdicht und lässt einen gewissen Freiraum in der Umsetzung zu!

 
Unter dem "üblichen" Verfahren verstehe ich Folgendes und habe es entsprechend implementiert:
Kleiner als ,5: abrunden.Größer gleich ,5: aufrunden.

(iii) Und zuletzt:
Selbstverständlich gilt wie immer: alle errechneten Ergebnisse sind ohne Gewähr.

Bei Fragen und Problemen immer melden!

Und nun viel Erfolg fürs Abi! :-)

 

(ein Beispiel)

Ausgewählte Grundfunktionen des CASIO FX-991DE PLUS für die Mittelstufe - Eine Checkliste für den erfolgreichen Einstieg

Hallo!

Heute möchte ich euch eine Übersicht über die am häufigsten gebrauchten und nützlichsten Funktionen des CASIO FX-991DE Plus bereitstellen. Es handelt sich also um keine Anleitung, wie man sie kennt, sondern eine Checkliste, die dazu da sein soll, Lücken in euren Basic-Kenntnissen zu füllen, die manchmal selbst nach langer Nutzung des Taschenrechners noch da sein können.

 

Da ich dies auch bei mir selber nicht ausschließe, meldet euch bitte unbedingt, wenn ihr noch eine Sache kennt, die hilfreich ist, damit ich sie in die Liste aufnehmen kann!

Spezielle Funktionen zu Themen wie Stochastik, Differential- und Integralrechnung, Matrizenrechnung oder komplexen Zahlen habe ich daher bewusst außen vor gelassen, da sie bei Bedarf einfach nachgeschlagen werden können.

Vielleicht ganz kurz am Rande: Ich konnte bisher noch keine Funktion finden, um den Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl zu bilden, um z.B. damit weiterrechnen zu können. Gibts das einfach nicht oder wie sieht das aus?

Zum Download der Checkliste hier klicken

(es wird außerdem noch eine kleine Aufgabensammlung folgen,

mit der ihr eure ~Fähigkeiten~ in der Praxis testen können werdet ;-) )

Vorschau der Checkliste

Weitere Dokumente:

Bedienungsanleitung FX-991DE Plus (hier steht so gut wie alles drin, um jeden Punkt erfolgreich abhaken zu können. Falls ihr mit einem Punkt Probleme habt, hinterlasst einen Kommentar.)

 

Kurzanleitung zur Bedienung des CASIO FX-991ES (auch eine gute Anleitung, die etwas spezieller auf die Grundfunktionen ausgerichtet ist. Zwar für das Vorgängermodell, dadurch aber genauso zutreffend für den DE PLUS)

Bewertung:

Ich selbst benutze den CASIO FX-991 DE Plus jetzt seit einem Jahr und bin im Großen und Ganzen wirklich sehr zufrieden! Die ein oder andere Kleinigkeit stört mich halt doch noch. ;-) Dennoch kann ich eine klare Kaufempfehlung aussprechen, da es einfach nichts vergleichbares in dieser Taschenrechnerklasse gibt, mal ganz abgesehen von dem unschlagbaren Preis-/Leistungsverhältnis!

Bei Fragen meldet euch!

Viel Spaß,

cosypanther